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“黄金分割”你肯定听过很多次了，不论是小时候上绘画班，还是长大后上数学课，或者业余时间玩玩摄影，它都是一个绕不过去的话题。现在，吴军老师会带你回到它的源头——数学，告诉你为什么黄金分割会看上去这么漂亮，再带你重新审视那些著名的建筑、绘画以及我们日常生活中的黄金分割。希望能给你新的收获。

1.我们先来看一张照片，感受一下黄金分割。

这是雅典卫城的帕特农神庙，它无论是在艺术史上，还是建筑史上地位都很高，如果你度量一下它正面的宽与高（还原已残破的屋顶高度），正好符合我们所说的黄金分割。

黄金分割大家并不陌生，你可能还会说出它的比例大约是1:0.618，也就是1.618。其实不仅帕特农神庙本身和里面很多雕塑的关键比例符合黄金分割，著名的雕塑《断臂的维纳斯》，它的身高和腿长的比例，腿和上身的比例也都符合黄金分割。符合这个黄金比例的雕塑或建筑就看上去很顺眼，很美观。

那么黄金分割是如何确定的呢，这个比例为什么看起来顺眼呢？简单地讲，它的美感来自几何图形的相似性。

比如我画了一个符合黄金分割的长方形，它的长度是X，宽度是Y。如果我们用剪刀从中剪掉一个边长为Y的正方形（也就是图中灰色的部分），剩下来的长方形，长宽之比依然会符合黄金分割。

当然，我们还可以继续剪掉一个正方形（图中绿色的部分），剩下的长方形（图中透明的部分）的长宽依然会符合黄金分割的比例。

也就是说，如果我们这样不断地切下去，剩余部分都是成同一比例的。

黄金分割的这个比例很容易算出来。根据黄金分割上述的相似性质，我们可以很容易算出来X/Y的比例是1.618左右，更精确地讲是（√5+1）÷2，这是一个无理数，通常用希腊字母Ф来表示。

2.黄金分割为什么漂亮？

除了在几何上层层相似，也反映了自然界的物理学特征。

如果我们把刚才图中的长方形不断做切割，然后将每个被切掉的正方形的边用圆弧替代，就得到了这样一个螺旋线。

由于这个螺旋线每转动同样的角度，得到的圆弧是等比例的，因此它也被称为等角螺线。

如果你对比这个螺旋线和下面鹦鹉螺的壳，是否觉得很相似？

不仅如此，龙卷风乃至银河系这样星系的形状都是如此。

需要指出的是，这不是巧合，而是因为任何东西如果从中心出发，同比例放大，必然得到这样的形状。

或许正是因为黄金分割反映了宇宙自身的一个常数，我们对它才特别有亲切感，所以哪个建筑或者画作如果有意无意满足了这个条件，它就显得特别美。除了帕特农神庙，埃菲尔铁塔等建筑的主要尺寸的比例，也正好符合黄金分割，甚至符合等角螺旋线。

类似的，《蒙娜丽莎》的主要结构部分也可以对应一条等角螺旋线。需要说明的是，无论是帕特农神庙的设计者，还是达·芬奇或者埃菲尔，他们都知道黄金分割，并且刻意使用了这个比例。

3.最先提出黄金分割的人是谁呢？

古埃及人似乎早在4500年前就知道了这个比例的存在，因为大金字塔从任何一个面看上去，其正切面的斜边长和金字塔高度之比正好是黄金分割的比例。

当然，没有证据表明他们算出了精确的比例公式，因为他们不知道有无理数存在。

今天一般认为，算出黄金分割公式的还是毕达哥拉斯。虽然相传毕达哥拉斯是在一次听到一个铁匠打铁和谐而动听的声音后，研究出了黄金分割，但是我觉得这种说法缺乏依据。

大家更认可的说法是，毕达哥拉斯学派的人在做正五边形和五角星的图形时，发现了黄金分割的比例。在正五角星中，每一个等腰三角形的斜边和底边的比例都是黄金分割1.618。

我们刚才说毕达哥拉斯还可能是从铁匠的打铁声中获得了黄金分割的启发，但是无从考证，不过毕达哥拉斯学派利用数学指导音乐是真实的事情。

毕达哥拉斯认为，要产生让人愉快的音乐，就不能随机在连续的音调中选择音阶，而需要根据数学上的比例设计。音乐上的1234567，听着很舒服吧，你知道是怎么来的吗？

首先，人们发现两根琴弦，如果它们的长度比是2:1，它们所奏出来的音高就相差一个八度，比如高音1的音高就比中音1的高了一个八度，它们音高的频率之比也就是2:1。

接下来，将中音1和高音1之间的这个八度按照4:3和3:2的比例分割，就得到了4(fa)这个音。在1到4之间，还能够分成两个整声调，于是得到了2(re)和3(mi)，在4到高音1之间，可以被分为三个整声调，于是得到了5(sol) 6(la) 7(si)。你看，这样我们就得到了按照比例设计的好听的乐音了。

如果不按照比例分配音节是什么结果呢？我们听到的声音就如同噪音，而不是有规律的乐音。今天对耳蜗的解刨学研究发现，耳蜗的形状其实也是螺旋线的，和黄金分割的螺旋线非常吻合。这可能是按照黄金分割设定音律后，声音悦耳的原因。

4.毕达哥拉斯和他的学派对音乐和美学的影响一直影响到柏拉图和亚里士多德，以及后来诸多文艺复兴的学者。

数学不仅和音乐密切相关，也对建筑和绘画艺术产生了重大的影响。我们看从文艺复兴时期开始，到19世纪浪漫主义时期的西方油画，都会惊叹于它们的逼真。

这个逼真的效果从哪里来？它源于艺术家们使用单点透视的方法，成功地将三维形象绘制到一个二维平面上。当然，这个绘画技术不是一天发明的。

其实，早在古希腊时期，人们就发现了远处景物显得小，近处的显得大这样的特点，并且将这种特点反映到绘画中了，他们把这种方法叫做短缩法。但是，古希腊人并不知道物体在离开我们远去时，该遵循什么数学法则进行缩小。

到了文艺复兴时期，佛罗伦萨的画家乌切洛沉溺于使用几何学技术将绘画变得逼真，在他为美第奇家族绘制的《圣罗马诺之战》中，我们可以看到明显采用透视法炫技的痕迹。

大家可以仔细看看地上倒下的战士和旁边的长矛，都指向远方的消失点。他用透视法为绘画构建了立体的舞台。不过，如果你仔细看，会觉得这幅画中有不少别扭的地方，因为这幅画好像不止一个透视的方向。

那么是谁真正解决了透视法中的数学问题，并且将这种技巧给予了广大艺术家的呢？是文艺复兴时期大名鼎鼎的建筑师和工程师布鲁内莱斯基，今天佛罗伦萨的圣母百花大教堂就是他的杰作。

布鲁内莱斯基所发明的单点透视法，完全符合我们视觉应有的几何学原理，具体讲就是相似三角形的原理，因此按照这样的方法画出来的画就非常逼真。下面我们就从视觉中的几何学原理出发，简单介绍一下单点透视法。

假定我们前方100米和500米处各有一棵大树，它们都是50米高。我们知道近处的树在我们的眼睛里显得高，远处的显得小。那么看起来，它们的比例到底该是几比几呢？简单地讲，就是应该和距离成反比，即100米处50米高的树，放到500米处，应该显得只有10米高。

如果放到无穷远处，则应该是0米高，也就是地平线上的一个点。对于其他的距离，我们看到的高度也是同样和距离成反比。这样，如果我们把各个距离之处50米高的大树连城一条线，就是我们得到的透视的视觉效果了。

下图是我在电视剧《权力的游戏》的外景地（北爱尔兰）拍的照片。从照片可以看出，所有相同大小的景物，按照远近的比例缩小，在远处汇聚到一点。

理解了我们视觉的数学原理，就可以利用它创造出不同的艺术效果。比如在现实世界里，我们看到的是单点透视，因为人的眼睛不可能同时往两边看，但是我们可以在艺术创作中采用两点和多点透视。

下图是两点透视的效果，景物消失在一左一右两点上。我们通常目光只能集中在一个方向，看不了这么广的视角，但是你如果用鱼眼镜头拍照，就能拍出这样的效果。

5.最后总结一下，其实今天我是在和你解释数学的用途。

数学和艺术，以及其他的知识体系有着千丝万缕的联系，我们以黄金分割和透视法为例子介绍了这种关系。了解一些基本的数学知识和方法对我们做其他事情有很多好处。

当然，有些人会讲，我们学不会那些数学上的道理啊，没关系，有些方法你只要记住就好。